备战江苏省数学竞赛-极限

写在开头：

这篇博客是本人备战江苏省数学竞赛的一些笔记，学高数一并且有意向参加江苏省赛的可以参考一下
本文大概介绍了几种求极限的方法

导数求极限

例：求极限 $\displaystyle \Large {\lim_{x \to 0} \frac { {\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}}} \sqrt[6]{\frac{1+3x}{1-3x}} ... \sqrt[2n]{\frac{1+nx}{1-nx}} -1 } { 3\pi\arcsin{x}-(x^2+1)\arctan^3{x} }}$
思路：首先判断极限类型为$\large \frac{0}{0}$，与此同时判断出前面那一堆根式在0处的取值为1
，所以想到用导数的定义求解。
解法：令 $\large f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}}...\sqrt[2n]{\frac{1+nx}{1-nx}}$
则原式 $=\large \displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \Huge _\cdot \large\frac{x}{3\pi\arcsin{x}-(x^2+1)\arctan^3{x}}$

$\begin{flalign}\displaystyle \large=f^{'}(0) \cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{3\pi-(x^4+x^2)} \end{flalign}\displaystyle \large=\frac{n}{3\pi}$

求$\displaystyle \large f^\prime(0)$：因为有好多根式乘在一起，所以要取对数
$\displaystyle 令y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\sqrt[4]{\frac{1+2x}{1-2x}}…\sqrt[2n]{\frac{1+nx}{1-nx}}$
取对数$\displaystyle \ln{y}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{4}\ln\frac{1+2x}{1-2x}+…+\frac{1}{2n}\ln\frac{1+nx}{1-nx}$
求导$\displaystyle \frac{y^\prime}{y}=\frac{1}{1-x}+…+\frac{1}{1-n^2x}$
代入$\displaystyle x=0得y^\prime|_{x=0}=n$